为函数空间赋予拓扑结构 - 一些例子

对于函数空间, 在需要研究其某些特定的性质时, 对于这个空间赋予适当的拓扑结构, 是非常有用的一种方法. 一个常见的方面就是: 通过其拓扑在给定的义意下讨论函数族收敛的概念.

在线性泛函分析学习中学过的赋范线性空间, 就是通过对空间赋予范数来引入拓扑结构–由范数可以自然的诱导相应的度量, 度量则给出了空间的拓扑结构. 当然, 并非所有的函数空间的拓扑结构都可以由范数给出, 于是我们有更一般的关联于所谓半范数族的拓扑线性空间.

关于这些问题, 需要很大的篇幅来说明, 在此, 仅先举些常见熟悉的例子, 并收集一些有用的参考文献, 供后续进一步学习使用.

范数与赋范线性空间的例子

定义在区间 $[0,1]$ 上的全体无穷阶连续函数构成的集合 $C^{\infty}[0,1]$. 现在我们希望说明函数 $f(x)$ 很小(值靠近原点).

1. 如果要求 $\forall x<\varepsilon$, $f(x)$ 都能一致的被 “控制在” $0$ 的附近这件事, 就可以定义如下范数
   $$\|f\| = \sup_{x\in [0,1]}|f(x)|.$$
2. 如果想要表示 $f$ 在”平均”的意义下很小, 可以这样定义范数
   $$\|f\|= \int_1^0|f(x)|dx.$$
   甚至必要的情况下更近一步, 按以下方式定义范数来防止出现过大的值
   $$\|f\|= \left(\int_1^0|f(x)|^p dx\right)^{1/p}.$$
3. 如果我们还想更进一步表明 $f$ 的振荡不太过分, 往往有以下定义
   $$\|f\| = |f(0)|+V_{[1,0]}, \text{$V$ 是 $f$ 在 $[0,1]$ 上的全变差};$$
   或者定义
   $$\|f\| = |f(0)|+\sup_{x\in [0,1]}|f’(x)|.$$
4. 如果还想要表明 $f$ 直到 $n$ 阶导数都很小, 可以设
   $$\|f\| = |f(0)|+|f’(0)|+\cdots +|f^{(n-1)}(0)|+\sup_{x\in [0,1]}|f^{(n)}(x)|.$$

以上例子说明了对函数集合赋予范数使之成为函数空间的一点基本的想法. 这里再给出几个重要的例子.

【Bloch 空间】 这是一类非常重要的解析函数空间, 这个空间中的元素由定义在单位圆盘 $D$ 上的满足以下条件的解析函数组成
$$\mathcal{B} = \{f: \sup_{x\in D}(f’(x))(1-|z|^2)<\infty\}.$$
其上的范数定义为
$$\|f\|_{\mathcal{B}} = |f(0)| + \sup_{x\in D}(f’(x))(1-|z|^2).$$

【$L^p$ 空间】这个空间很熟悉了, 即给定区域 $E$ 上的 $p$ 次方 Lesbegue 可积函数构成的空间. 它是 $E$ 上连续函数在 $L^p$ 范数下的完备化. $\|\cdot\|_{L^p}$ 定义如下
$$\|f\|_{L^p} = \|f\|= \left(\int_1^0|f(x)|^p dx\right)^{1/p}.$$

没有范数的拓扑向量空间的例子

正如开头所说的, 并非所有的函数空间的拓扑结构都可以由范数给出. 这里给出一个常见的例子.

这个例子来自于 Fourier 分析. 我们考虑这样的一类复值函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{C}$:
$$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n) = \{f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n): x^{\alpha}\partial^{\beta}f(x)\rightarrow0, \text{ 当 } |x|\rightarrow \infty, \forall \alpha, \beta\in \mathbb{N}^n\}.$$

可以定义其上的一个半范数(semi-norm)
$$\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{\mathbb{R}^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}f(x)|.$$

空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的拓扑正是由可数的半范数族 $\|\cdot\|_{\alpha,\beta}$ 给出. P.S. 当然, 它还有一个等价的半范数
$$\|f\|_{N,\beta} = \sup_{\mathbb{R}^n}|(1+|x|)^{N}\partial^{\beta}f(x)|.$$

这个函数空间的拓扑无法由范数诱导得到, 不过这个拓扑空间确实是完备的.

$\mathcal{S}$ 通常也称为 Schwartz 空间, 又叫急减函数(rapidly decreasing)空间, 因其中的函数 $f$ 以及其任意阶的导数在无穷远处”急速”的(超过任意阶无穷小的程度)趋于 $0$.

而如 $\mathcal{S}$ 这样的, 半范数族给出拓扑的完备的拓扑线性空间称为 Frechet 空间. 显然的一个事就是每个 Banach 空间都是 Frechet 空间.

一些参考书目

a. Rudin，《泛函分析》. 话说初学泛函分析强烈不推荐 Rudin 的大作, 但是对于已经学过一遍线性泛函分析的同学来说, 确实是很有意思的. 上场开大, 从拓扑线性空间入手.

b. 定光桂，《泛函分析新讲》. 不多评价, 只说此书真的值得一读.

c. 看到了在来补吧…23333